$\mathbb{Z}_{2^r}$-流形的 eta 函数与 eta 不变量

我们计算了作用在维数 $n =4h-1$ ($h\ge 1$)、全纯群 $F\simeq \mathbb{Z}_{2^r}$ ($r\in \mathbb{N}$) 的可定向紧致平坦流形上的 Atiyah-Patodi-Singer 算子 $\mathcal{D}$ 的 eta 函数 $\eta(s)$ 及其相应的 $\eta$-不变量。我们证明 $\eta(s)$ 是一个简单整函数乘以 $L(s,\chi_4)$，即与模 4 本原 Dirichlet 特征相关的 $L$-函数。$\eta$-不变量为 0 或等于 $\pm 2^k$（其中 $k\ge 0$），具体取决于 $r$ 和 $n$。此外，我们构造了一族无限的可定向 $\mathbb{Z}_{2^r}$-流形 $\mathcal{F}$，其满足 $F\subset \mathrm{SO}(n,\mathbb{Z})$。对于流形 $M\in \mathcal{F}$，我们有 $\eta(M)=-\tfrac{1}{2}|T|$，其中 $T$ 是 $H_1(M,\mathbb{Z})$ 的挠子群，且 $\eta(M)$ 决定了整个 eta 函数 $\eta(s,M)$。