涉及黎曼 zeta 函数的函数的递增性与对数凸性

设 $\alpha>0$ 为常数，$\ell\ge0$ 为整数，$\Gamma(z)$ 表示经典的欧拉 gamma 函数。借助黎曼 zeta 函数 $\zeta(z)$ 的积分表示，利用带参两积分之比的单调性准则，并运用函数 $\frac{1}{e^t-1}$ 及其导数的完全单调性与另一性质，作者指出：(1) 对 $\ell\ge0$，函数 \begin{equation*} x\mapsto\binom{x+\alpha+\ell}{\alpha}\frac{\zeta(x+\alpha)}{\zeta(x)} \end{equation*} 从 $(1,\infty)$ 到 $(0,\infty)$ 递增，其中 $\binom{z}{w}$ 表示扩展二项式系数；(2) 对 $\ell\ge1$，函数 $x\mapsto\Gamma(x+\ell)\zeta(x)$ 在 $(1,\infty)$ 上是对数凸的。