与 ln Γ(x+1) 相关的函数导数的分数部分积分表示

对于 $0\neq x>-1$，令 $$\Delta(x)={{\ln \Gamma(x+1)} \over x}.$$ 最近，Adell 和 Alzer 通过给出 $(-1)^n \Delta^{(n+1)}(x)$ 关于 Hurwitz zeta 函数 $\zeta(s,a)$ 的积分表示，证明了 $\Delta'$ 在 $(-1,\infty)$ 上的完全单调性。我们以不同方式重新证明了这个积分表示，然后将其重新表示为分数部分积分。特殊情况随后具有显式求值。还给出了 $\Delta^{(n+1)}(x)$ 的其他关系，包括当 $x \to \infty$ 时的首项渐近形式。