扩展齐次函数显式表达式研究

本文聚焦于扩展齐次函数的显式表达式。我们采用两种不同的方法——梅林反演公式和柯西残数定理——来计算关于复变函数 $\Gamma(z)\Gamma(s-z)u^{-z}$（$u\in (0,1)$，$s\in \mathbb{C}$）的梅林-巴尔斯类型积分。我们提供了关于Gamma函数和齐次函数解析性质的必要背景，以确认该梅林-巴尔斯积分的绝对收敛性。接下来，我们使用以下复积分表示扩展版齐次函数 $\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}{(m+n)^{-s}}$，其中 $s$ 的实部大于2，$c>1$ 需使 $\Re(s)-c$ 大于1。 $$\Gamma(s)\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}{(m+n)^{-s}}=\frac{1}{2\pi i} \int_{c - i\infty}^{c + i\infty} \zeta(z) \zeta(s - z) \Gamma(z) \Gamma(s - z) \, dz$$ 我们通过将积分路径从直线 $\Re(z)=c$ 变为左侧位于负无穷的矩形轮廓来求解该积分。我们应用齐次函数的函数方程、欧拉反射公式和 Legendre 的重复公式来求解通过 $\Re(z)=-\infty$ 的积分段。最后，我们引入赫歇尔齐次函数并正确计算两个类似矩形轮廓中残数之和的差异，完成求解。最后，我们展示了该结果与涉及特殊函数的其他复杂积分（如双曲函数）之间的联系。此外，我们讨论了其在推导巴氏齐次函数的显式表达式方面的应用。