Banach空间中$\mathcal{H}_p$-Dirichlet级数的Bohr绝对收敛问题

Bohr-Bohnenblust-Hille定理指出，在复平面上，普通Dirichlet级数$\sum_n a_n n^{-s}$一致收敛但不绝对收敛的条带宽度不超过$1/2$，且这一估计是最优的。等价地，Hardy空间$\mathcal{H}_\infty$中所有Dirichlet级数的绝对收敛横坐标的上确界等于$1/2$。Bayart的一个令人惊讶的事实表明，若将$\mathcal{H}_\infty$替换为任何Hardy空间$\mathcal{H}_p$（$1 \le p < \infty$），相同结论仍然成立。对于系数取值于Banach空间$X$的Dirichlet级数，Bohr条带的最大宽度取决于$X$的几何性质；Defant、García、Maestre和Pérez-García证明了该最大宽度等于$1-1/\ct(X)$，其中$\ct(X)$表示$X$的最大余型。等价地，向量值Hardy空间$\mathcal{H}_\infty(X)$中所有Dirichlet级数的绝对收敛横坐标的上确界等于$1-1/\ct(X)$。本文证明，若将$\mathcal{H}_\infty(X)$替换为更大的类$\mathcal{H}_p(X)$（$1 \le p < \infty$），该结论仍然成立。