Heisenberg群上的垂直与水平Poincaré不等式

令$\H= < a,b | a[a,b]=[a,b]a \wedge b[a,b]=[a,b]b>$为离散Heisenberg群，配备与生成元集${a,b,a^{-1},b^{-1}}$相关的左不变词度量$d_W(\cdot,\cdot)$。令B_n= {x\in \H: d_W(x,e_\H)\le n}表示半径为$n\in \N$的相应闭球，并记$c=[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$，我们证明：若$(X,|\cdot|_X)$是一个Banach空间，其一致凸性模具有幂次$q\in [2,\infty)$，则存在$K\in (0,\infty)$使得对每个$f:\H\to X$满足{multline*} \sum_{k=1}^{n^2}\sum_{x\in B_n}\frac{|f(xc^k)-f(x)|_X^q}{k^{1+q/2}}\le K\sum_{x\in B_{21n}} \Big(|f(xa)-f(x)|^q_X+\|f(xb)-f(x)\|^q_X\Big). {multline*} 由此推出，对每个$n\in \N$，每个$f:B_n\to X$的双Lipschitz畸变至少是$(\log n)^{1/q}$的常数倍，这是$n\to\infty$时渐近最优的估计。