Markov 凸性与 Heisenberg 群的不可嵌入性

我们计算了连续无限维 Heisenberg 群 $\mathbb{H}_\infty$ 的 Markov 凸性不变量，表明它是 Markov 4-凸的，且对于任何 $p < 4$ 都不是 Markov $p$-凸的。由于 Markov 凸性是双 Lipschitz 不变量，而 Hilbert 空间是 Markov 2-凸的，这为 Pansu 和 Semmes 的经典定理提供了另一种证明，即 Heisenberg 群不允许双 Lipschitz 嵌入到任何欧几里得空间中。Markov 凸性的下界将通过展示 Laakso 图 $G_n$ 到 $\mathbb{H}_\infty$ 的显式嵌入得出，该嵌入的畸变至多为 $C n^{1/4} \sqrt{\log n}$。我们利用这一点证明，如果 $X$ 是一个 Markov $p$-凸度量空间，那么半径为 $n$ 的离散 Heisenberg 群 $\mathbb{H}(\mathbb{Z})$ 的球嵌入到 $X$ 中的畸变至少为某个常数倍的 $$\frac{(\log n)^{\frac{1}{p}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\log \log n}}.$$ 最后，我们通过证明畸变数量级为 $\sqrt{\log m}$，表明 Markov 4-凸性并未给出二叉树 $B_m$ 嵌入到 $\mathbb{H}_\infty$ 的最优畸变。