海森堡群上格罗莫夫的赫尔德等价问题的一个解

我们证明，从具有消失的一阶利普希茨同调的拟凸度量空间到次黎曼海森堡群的一个赫尔德指数大于 $1/2$ 的映射可经过一棵树分解。特别地，若定义域包含圆盘，则此类映射不可能为单射。这给出了格罗莫夫问题在最简单非平凡情形下的一个回答。同样的工具可改进 Borisov 的一个结果，并表明若 $\alpha > 1/2$，则具有正高斯曲率的黎曼曲面到 $\mathbb{R}^3$ 的 $C^{1,\alpha}$ 类等距浸入具有有界外在曲率。