Gromov 关于卡诺群赫尔德等价问题的一个变体

尽管恒等映射 $\mathbb{R}^3\to \mathbb{H}^1$ 是局部 $\frac{1}{2}$-赫尔德的，但对于任意 $\frac{1}{2}< \alpha\le \frac{2}{3}$，是否存在局部 $\alpha$-赫尔德同胚 $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{H}^1$ 仍是未知的。更一般地，Gromov 问道：给定 $k$ 和一个卡诺群 $G$，对哪些 $\alpha$ 存在局部 $\alpha$-赫尔德同胚 $f:\mathbb{R}^k\to G$？这里，我们为卡诺群 $G$ 装备卡诺-卡拉泰奥多里度量。2014年，Balogh、Hajlasz 和 Wildrick 考虑了此问题的一个变体。这些作者证明若 $k>n$，则不存在从 $\mathbb{R}^k$ 到 $\mathbb{H}^n$ 的单射、$(\frac{1}{2}+)$-赫尔德映射，且该映射作为到 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 的映射是局部利普希茨的。对于其证明，他们使用了 $\mathbb{H}^n$ 在 $k>n$ 时是纯 $k$-不可求长的这一事实。在本文中，我们将他们的结果从海森堡群推广到模型丝状群和步数至多为三的卡诺群。我们现在要求卡诺群是纯 $k$-不可求长的。我们证明的关键将是表明从 $\mathbb{R}^k$ 到 $G$ 的 $(\frac{1}{2}+)$-赫尔德映射（作为到欧氏空间的映射是局部利普希茨的）是弱接触的。在这两个设定中证明弱接触性需要理解卡诺群代数结构与度量结构之间的关系。我们将使用卡诺群的第一类和第二类坐标。