Pauls可求长与纯Pauls不可求长的光滑超曲面

本文与在次黎曼几何中寻找良好可求长性概念的问题相关。特别地，我们研究在Carnot群中光滑超曲面可期望获得何种结果。我们的主要贡献将是以下结果的一个推论：存在一个无特征点的$C^{\infty}$超曲面$S$，其在每个正测度子集上具有不可数多个两两不同构的切群。该例子发现于拓扑维数为8的Carnot群中，其Hausdorff维数为12，因此我们在其上使用Hausdorff测度$\mathcal{H}^{12}$。作为推论，我们证明对于每一个Hausdorff维数为12的Carnot群，任何定义在其子集上且取值于$S$的Lipschitz映射都具有$\mathcal{H}^{12}$-零像。特别地，我们推得该光滑超曲面不能被可数多个各自定义于某Hausdorff维数为12的Carnot群子集上的映射以Lipschitz方式参数化。作为主要推论，我们得到S.Pauls提出的可求长性概念与B.Franchi、R.Serapioni和F.Serra Cassano提出的概念不等价，至少对任意Carnot群而言如此。此外，我们证明给定Carnot群中Hausdorff维数为12的齐次子群的子集$U$，每一个双Lipschitz映射$f:U\to S$满足$\mathcal{H}^{12}(f(U))=0$。最后，我们证明这样的例子在Heisenberg群中不存在：我们证明$\mathbb H^n$中所有$n\geq 2$的$C^{\infty}$-超曲面根据Pauls的定义（甚至使用双Lipschitz映射）都是可数$\mathbb{H}^{n-1}\times\mathbb R$-可求长的。