接触三维流形的 Lipschitz 同伦群

我们利用次黎曼几何与几何测度论的技术研究接触三维流形，特别地建立了其 Lipschitz 同伦群的性质。我们证明了 Darboux 定理的双 Lipschitz 版本：赋予次黎曼结构的接触 $(2n+1)$-流形在局部上双 Lipschitz 等价于带有其 Carnot-Carathéodory（\cc）度量的 Heisenberg 群 $\mathbb{H}^n$。于是，任意赋予次黎曼结构的接触 $(2n+1)$-流形对于 $k>n$ 是纯 $k$-不可求长的。接着我们将 Dejarnette 等人（arXiv:1109.4641 [math.FA]）以及 Wenger 和 Young（arXiv:1210.6943 [math.GT]）关于 $\mathbb{H}^1$ 的 Lipschitz 同伦群的结果推广到任意赋予 \cc 度量的接触三维流形，即任意接触三维流形的第一 Lipschitz 同伦群是不可数生成的，而所有更高阶 Lipschitz 同伦群均为平凡。因此，在 Lipschitz 同伦群的意义下，接触三维流形是一个具有不可数生成的第一同伦群的 $K(\pi,1)$-空间。在此过程中，我们证明了任意两个纯 2-不可求长的次黎曼流形之间的开分布嵌入均诱导出相应第一 Lipschitz 同伦群上的单射映射。因此，接触三维流形的每个开子集都决定了该接触三维流形第一 Lipschitz 同伦群的一个不可数子群。