海森堡群的 Lipschitz 同伦群

从 $n$ 维空间到 $(2n+1)$ 维海森堡群 \H^n 的 Lipschitz 映射和水平映射非常丰富，而从更高维空间出发的映射则受到更多限制。DeJarnette、Haj{\l}asz、Lukyanenko 和 Tyson 构造了从 $S^k$ 到 \H^n 的水平映射，这些映射通过 $n$-球面分解，并证明了这些映射没有光滑水平填充。然而，在本文中，我们基于 Kaufman 的一个例子表明，这些映射有时具有 Lipschitz 填充。这表明空间的 Lipschitz 水平同伦群与光滑水平同伦群可能不同。反之，我们证明了任何 Lipschitz 映射 S^k\to \H^1 都通过树分解，因此若 $k\ge 2$，则该映射是 Lipschitz 零伦的。