关于从 RCD 空间到黎曼流形的拓扑稳定性定理的注记

受 Wang-Zhao 近期工作的启发，在本注记中我们证明：对于一个固定的 $n$ 维闭黎曼流形 $(M^n, g)$，若一个 $\mathrm{RCD}(K, n)$ 空间 $(X, \mathsf{d}, \mathfrak{m})$ 在 Gromov-Hausdorff 意义下接近于 $M^n$，则存在从 $X$ 到 $M^n$ 的正则同胚 $F$，使得 $F$ 是 Lipschitz 连续的且 $F^{-1}$ 是 H"older 连续的，其中 $F$ 的 Lipschitz 常数、$F^{-1}$ 的 H"older 指数与 H"older 常数可被选取为任意接近于 $1$。这在一般意义上是最优的，即此类映射通常无法改进为双 Lipschitz。此外，若 $X$ 是光滑的，则此类同胚可取为微分同胚。值得提及的是，$F$ 的 Lipschitz-H"older 连续性改进了 Cheeger-Colding 建立的具有 Ricci 曲率下界的闭流形的内蕴 Reifenberg 定理。Nash 嵌入定理在证明中起到关键作用。