球面附近流形的标准微分同胚

对于给定的黎曼流形$(M^n, g)$，其在Gromov-Hausdorff拓扑下接近标准球面$(S^n, g_{round})$且满足$Rc \geq n-1$，由Cheeger-Colding理论可知$M$与$S^n$微分同胚。Cheeger和Colding利用Reifenberg方法构造了一个微分同胚$\varphi: M \to S^n$。在本注记中，我们表明可以典范地构造一个所需的微分同胚。令$\{f_i\}_{i=1}^{n+1}$为$(M, g)$的前$(n+1)$个特征函数，且$f=(f_1, f_2, \cdots, f_{n+1})$。则映射$\tilde{f}=\frac{f}{|f|}: M \to S^n$给出一个微分同胚，且$\tilde{f}$满足一致的双Hölder估计。我们进一步表明该双Hölder估计是最优的，无法改进为双Lipschitz估计。我们的研究可视为Colding和Petersen先前工作的延续。