通过浸入映射逼近 Lipschitz 映射及可微异种球面定理

作为我们的主要定理，我们证明了如果从紧黎曼流形 $M$ 到黎曼流形 $N$ 的 Lipschitz 映射在 F.H. Clarke 意义下在 $M$ 上没有奇点，其中 $\dim M \leq \dim N$，则该映射允许通过浸入映射进行光滑逼近。作为其推论，我们得出：如果紧流形之间的双 Lipschitz 同胚及其逆映射在相同意义下没有奇点，则它们是微分同胚的。我们有主要定理的三个应用：前两个是关于一对拓扑球面（包括异种球面）的两个可微球面定理。第三个是：如果紧 $n$ 维流形 $M$ 满足关于其距离函数临界点的两个特定条件（Clarke 意义下），则 $M$ 是一个扭曲球面，并且存在 $M$ 与单位 $n$ 维球面 $S^n(1)$ 之间的双 Lipschitz 同胚，该同胚除单点外是微分同胚。此外，我们从第三个定理得出了三个推论：第一个是对于任意一般维数 $n$ 的扭曲球面 $\Sigma^n$，存在 $\Sigma^n$ 与 $S^n(1)$ 之间的双 Lipschitz 同胚，该同胚除单点外是微分同胚。特别地，对于维数 $n>4$ 的异种 $n$ 维球面 $\Sigma^n$ 与 $S^n(1)$ 之间存在这样的映射；第二个是如果存在异种 4-球面 $\Sigma^4$，则 $\Sigma^4$ 不满足上述两个条件之一；第三个是对于任意 Grove-Shiohama 型 $n$ 维球面 $N$，存在 $N$ 与 $S^n(1)$ 之间的双 Lipschitz 同胚，该同胚除达到其直径的点之一外是微分同胚。