低截面曲率下环面的稳定性

设 $(M^n_i, g_i)\to (X,d_X)$ 为 Gromov-Hausdorff 收敛的黎曼流形序列，满足 ${\rm Sec}_{g_i} \ge -1$、${\rm diam}\, (M_i)\le D$，且所有 $M^n_i$ 均同胚于环面 $T^n$。则 $X$ 同胚于某个 $0\leq k\leq n$ 的 $k$ 维环面 $T^k$。这肯定了 Petrunin 的一个问题。我们表明，若 $M^n_i$ 仅为被假设为 Alexandrov 空间的同胚环面，该结果不成立。当 $n=3$ 时，我们在更弱的条件 ${\rm Ric}_{g_i} \ge -2$ 下证明了同样的环面稳定性。