低维环面上的极小同胚

本文研究了环面 $T^{n}$ ($n<5$) 上的极小同胚（所有轨道均稠密）。同胚 $\phi$ 的线性部分是指 $\phi$ 在 $T^{n}$ 的一阶同调群上诱导的线性映射 $L$。由 Lefschetz 不动点定理可知，若 $\phi$ 是极小的，则 1 是 $L$ 的一个特征值。我们证明，若 $\phi$ 是极小的且 $n<5$，则 $L$ 是准幺幂的，即 $L$ 的所有特征值均为单位根；反之，若 $L\in GL(n,\Z)$ 是准幺幂的且 1 是 $L$ 的一个特征值，则存在一个 $C^{\infty}$ 极小斜积微分同胚 $\phi$，其线性部分恰好为 $L$。我们尚不知这些结果对于 $n>4$ 是否成立。我们给出了任意维数环面上的光滑斜积微分同胚光滑共轭于仿射变换的一个充分条件。