一族环面同胚中的新旋转集

我们构造了一族同伦于恒等映射的二维环面同胚 $\{\Phi_t\}_{t\in[0,1]}$，其所有旋转集 $\rho(\Phi_t)$ 均可被显式描述。我们分析了该族中旋转集的分岔和典型行为，为环面旋转集分岔和普遍性的一般问题提供了见解。我们证明存在 $[0,1]$ 的一个满测度子集，该子集由无穷多个互不相交的非平凡闭区间组成，在每个区间上旋转集模式锁定为一个具有有理顶点的常数多边形；在 Hausdorff 拓扑中，典型的旋转集具有无穷多个极端点，这些点积聚于单个完全无理极端点，且在该点处存在唯一的支撑线；并且，尽管 $\rho(t)$ 随 $t$ 连续变化，但 $\rho(t)$ 的极端点集并不连续。该族还提供了旋转集的示例，其中某个极端点不由任何极小不变集表示，也不由任何方向遍历测度表示。