关于某些旋转线段的稳定与不稳定行为

在本文中，我们研究二维环面上恒等同伦类中的非游荡同胚，其旋转集是从 $(0,0)$ 到某个完全无理向量 $(\alpha,\beta)$ 的非平凡线段。我们证明对于任意 $C^r$ 微分同胚（$r \geq 1$），这种旋转集实际上是一种非泛型现象。当这种旋转集确实出现时，在假定面积保持世界中通常满足的几个自然条件下，我们给出了其旋转行为的更清晰描述。更确切地说，该动力学在提升中沿 $-(\alpha,\beta)$ 方向具有有界偏差，并且旋转集在动力学的微小 $C^0$ 扰动下被锁定在一个任意小的锥内。另一方面，对于任意具有此类旋转集的非游荡同胚 $f$，我们也给出了一种扰动方案，使得该旋转集被邻近动力学的旋转集所吞没，即后者的旋转集具有非空内部并包含前者。这两种情形相互交织，并有着理解此类旋转集稳定性/不稳定性这一共同目标。