Toeplitz 矩阵及其乘积的最小特征值

本文主要研究 Toeplitz 矩阵 $T_N(\varphi_{\alpha})$ 的最小特征值 $\lambda_{N,\alpha}$，其中 $\varphi_{\alpha}(e^{i \theta})=|1- e^{i \theta} |^{2\alpha} c_{1}(e^{i \theta})$，$c_{1}$ 为正且充分光滑的函数，$0<\alpha<\frac{1}{2}$。我们得到当 $N$ 趋于无穷大时 $\lambda_{N,\alpha}\sim c_{\alpha}N^{-2\alpha}c_{1}(1)$，并给出了 $c_{\alpha}$ 的界。为了获得 $\lambda_{N,\alpha}$ 的渐近性，我们给出了一个定理，表明 $T_N^{-1}(\varphi_{\alpha})$ 与 $T_N (\varphi^{-1}_\alpha)$ 的元素密切相关。若 $\alpha_1 + \alpha_2 > \frac{1}{2}$，我们得到了 $T_N (\varphi_{\alpha_1}) T_N (\varphi_{\alpha_2})$ 最小特征值的渐近性。