关于具有两条非对角带的Toeplitz矩阵的特征值

考虑由符号 $f(\theta)=\hat{f}_r e^{\mathbf{i}r\theta}+\hat{f}_0+\hat{f}_{-s} e^{-\mathbf{i}s\theta}$ 生成的Toeplitz矩阵 $T_n(f)$,其中 $\hat{f}_r, \hat{f}_0, \hat{f}_{-s} \in \mathbb{C}$ 且 $0<r<n,~0<s<n$。当 $r=s=1$ 时,我们得到经典的三对角Toeplitz矩阵,其特征值与特征向量已知。类似地,对于 $1<r=s$,所生成的矩阵为“对称稀疏三对角”矩阵,其特征分解亦已知。本文研究 $1\leq r<s$ 时 $T_n(f)$ 的特征值,此时矩阵为“非对称稀疏三对角”。我们提出一种算法,构造一个或多个小于 $T_n(f)$ 的特设矩阵,其特征值足以确定 $T_n(f)$ 的整个谱。该算法借助一个猜想加以说明,并给出示例与数值实验以支持该猜想并澄清表述。文末简要讨论了开放问题。