具有矩阵值符号的预处理非厄米多级块 Toeplitz 矩阵的谱行为

本注记致力于研究与多元 Lebesgue 可积矩阵值符号相关的非厄米多级块 Toeplitz 线性系统的预处理策略。特别地，我们考虑特殊的预处理矩阵，其中预处理子具有带状多级块 Toeplitz 结构，并补充了关于谱定位的已知结果，给出了预处理矩阵特征值的全局分布结果。在此方面，我们的主要结果如下：设 $I_k:=(-\pi,\pi)^k$，设 $\mathcal M_s$ 为复 $s\times s$ 矩阵的线性空间，设 $f,g:I_k\to\mathcal M_s$ 为函数，其分量 $f_{ij},\,g_{ij}:I_k\to\mathbb C,\ i,j=1,\ldots,s,$ 属于 $L^\infty$。考虑矩阵 $T_n^{-1}(g)T_n(f)$，其中 $n:=(n_1,\ldots,n_k)$ 在 $\mathbb N^k$ 中变化，$T_n(f),T_n(g)$ 是由 $f,g$ 生成的尺寸为 $n_1\cdots n_ks$ 的多级块 Toeplitz 矩阵。那么 $\{T_n^{-1}(g)T_n(f)\}_{n\in\mathbb N^k}\sim_\lambda g^{-1}f$，即矩阵族 $\{T_n^{-1}(g)T_n(f)\}_{n\in\mathbb N^k}$ 具有由函数 $g^{-1}f$ 描述的全局（渐近）谱分布，前提是 $g$ 具备某些性质（特别是确保对所有 $n$，$T_n^{-1}(g)$ 可逆）且满足以下拓扑条件：$g^{-1}f$ 的本质值域（定义为特征值函数 $\lambda_j(g^{-1}f),\ j=1,\ldots,s$ 的本质值域的并集）不分割复平面且具有空内部。这一结果推广了 Donatelli、Neytcheva 和 Serra-Capizzano 在先前工作中获得的关于非预处理情形 $g=1$ 的结果。本注记最后一部分致力于数值实验，证实了理论分析并建议了用于所考虑线性系统的最佳 GMRES 预处理技术选择。