基于谱符号的分数阶扩散方程预条件子

众所周知，使用所谓的加权重移 Grünwald 公式对分数阶导数 $\alpha\in(1,2)$ 的分数阶扩散方程（FDEs）进行离散化，会得到系数矩阵呈现类 Toeplitz 结构的线性系统。更确切地说，在变系数情形下，相关矩阵序列属于所谓的广义局部 Toeplitz（GLT）类。反之，当给定 FDE 具有常系数时，使用合适的离散化，我们会遇到与非负函数 $\mathcal{F}_\alpha$ 相关联的 Toeplitz 结构，该函数称为谱符号，在零点有介于 1 与 2 之间的实正阶唯一零点。为通过预条件 Krylov 方法快速求解此类系统，在一维与二维情形下均已提出若干预条件技术。在本文中，我们提出一种记为 $\mathcal{P}_{\mathcal{F}_\alpha}$ 的新预条件子，它属于 $\tau$ 代数且基于谱符号 $\mathcal{F}_\alpha$。与部分已有预条件子比较，我们表明尽管保低带宽结构的预条件子在一维情形下更有效，但新预条件子在更具挑战性的多维设定中表现更优。