基于符号的多层次块 τ 预条件器用于多层次块 Toeplitz 系统：基于 GLT 的分析与应用

近年来，人们对多层次 Toeplitz 系统的预条件化重新关注起来，该研究领域在过去数十年间已得到广泛探索。本文提出了一种新颖的预条件化策略，针对对称和非对称的多层次 Toeplitz 系统，分别使用多层次 τ 矩阵。我们的方案构成一个通用框架，因为它们仅基于可以定义的多层次 Toeplitz 系数矩阵的生成函数进行构建。我们首先针对非对称系统，通过置换系数矩阵来产生实对称的多层次 Hankel 结构，从而采用一种对称化技术。我们针对对称化后的系统提出了一种多层次 τ 预条件器，并证明了经过预条件化的矩阵序列的特征值在 ±1 附近聚集，从而在使用预条件化最小残差法时实现快速收敛。通过应用于求解空间分数扩散方程，证明了该方法的高度有效性。接下来，针对对称系统，我们引入另一种多层次 τ 预条件器，并展示了当采用用于一类恶条件多层次 Toeplitz 系统时，经过预条件化的共轭梯度法可实现最优收敛速率，即该收敛速率与矩阵规模无关。通过数值实例对比评估了我们提出的预条件器与几个主要现有预条件求解器的有效性，突出了其卓越的性能。