多层 Tau 预条件器用于对称化多层 Toeplitz 系统及其在求解空间分数扩散方程中的应用

本文发展了一种针对非对称多层 Toeplitz 系统的新型基于 Tau 矩阵的多层预条件化方法。该方法不仅考虑，而且还改进了由 [J. Pestana. Preconditioners for symmetrized Toeplitz and multilevel Toeplitz matrices. SIAM J. Matrix Anal. Appl., 40(3):870-887, 2019] 先驱提出的理想预条件器。该理想预条件方法主要在该研究中进行数值分析，且未包含有效的实现。为解决这些问题，本文首先严格地表明，理想预条件器在采用 MINRES 方法时确实可实现最优收敛，其收敛速率独立于网格大小。随后，在该预条件器基础上，我们发展出一种实用且最优的预条件化 MINRES 方法。为进一步说明其适用性并开发快速实现策略，我们考虑求解 Riemann-Liouville 分数扩散方程作为一个应用。具体而言，遵循该方程的标准离散化，得到的线性系统是一个非对称多层 Toeplitz 系统，确认了我们的预条件化方法的适用性。通过一个简单的对称化策略，我们将原始线性系统转换为对称多层 Hankel 系统。随后，我们提出一种针对对称化系统的正定多层 Tau 预条件器，该预条件器可使用离散余弥变换高效实现。理论上，我们证明可实现网格无关收敛。特别是，我们证明了预条件化矩阵的特征值被限制在包含 $\pm 1$ 的不相交区间内，且没有任何离群点。提供了数值实例来关键性地讨论结果，展示谱分布，并支持我们策略的有效性。