波动方程最优控制的一种预条件 MINRES 方法及其渐近谱分布理论

在本工作中，我们在显式识别出最优控制问题所涉及的线性系数矩阵序列的渐近谱分布后，提出了一种求解波动方程最优控制问题的新型预条件 Krylov 子空间方法。具体而言，我们首先证明由波动控制问题导出的全-at-once 系统与具有特征值分布的结构化系数矩阵序列相关联。然后，基于该谱分布（其符号已被显式识别），我们为包含两个块 Toeplitz 矩阵的鞍点系统开发了理想预条件子与两个时间并行预条件子。对于理想预条件子，我们证明预条件矩阵序列的特征值均属于与零良好分离的集合 $\left(-\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)\bigcup \left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$，从而在使用最小残差法时实现与网格无关的收敛。所提出的{时间并行}预条件子可利用快速傅里叶变换或离散正弦变换高效实现，并且其有效性在理论上得以展示，即预条件矩阵序列的特征值聚集于 $\pm 1$ 附近，从而带来快速收敛。当这些时间并行预条件子不可快速对角化时，我们进一步提出了可高效求逆的修正版本。我们给出了若干数值算例以验证所推导的局部化与谱分布结果，并支持所提预条件子相对于相关文献的有效性及优势。