用于亥姆霍兹方程六阶紧致逼近的预条件Krylov子空间方法

本文考虑基于紧致六阶逼近格式和预条件Krylov子空间方法的高效迭代方法，求解带有Dirichlet、Neumann和类Sommerfeld边界条件的离散亥姆霍兹方程。我们开发了针对不同边界条件的3D亥姆霍兹方程的六阶紧致格式，以减少逼近误差和污染误差，从而放宽每波长点数约束。由此产生的有限差分方程组通过不同的预条件Krylov子空间方法求解。在大多数测试问题中，预条件广义最小残差（GMRES）方法是更优选择，但在网格足够细的情况下，本文提出的简单平稳两水平算法结合低阶逼近预条件子，是GMRES方法的高效替代方案。在对本文发展的低阶预条件分析中，除了常用的“最优预条件子”外，我们引入了“k阶预条件矩阵”这一术语。新准则的必要性由以下事实证明：在某些测试问题中，预条件矩阵$AA^{-1}_p$的条件数随着网格步长的减小而改善。在一维简单情形下，我们能够解析地证明这一点。这个新参数可作为构造新预条件子的指导。我们算法中使用的低阶直接预条件子基于分离变量技术和快速傅里叶变换（FFT）类方法的结合。所得数值方法可在并行计算机上高效实现。数值结果证实了所提迭代方法的高效性。