面向矩阵微分方程隐式离散的低秩GMRES方法的预处理
数值分析
2024-10-11 v1 数值分析
摘要
本工作提出了一类针对从矩阵微分方程隐式时间步进中产生的多项式方程的低秩广义最小残差方法（GMRES）的新型预处理器。我们关注计算矩阵方程的低秩解，例如源自刚性偏微分方程（PDE）的空间离散。低秩GMRES方法是一种特定的 Krylov子空间方法，其中在解的低秩因子上执行迭代。此类方法可以利用解的低秩特性来节省计算和存储成本。对于低秩GMRES方法的效率和适用性至关重要的是，是否存在有效的低秩预处理器，该预处理器直接作用于解的低秩因子，并可限制迭代次数和最大Krylov秩。我们在此处提出的预处理器基于basis update and Galerkin（BUG）方法，这源于动态低秩近似。它是一种针对低秩GMRES方案的非线性预处理器，自然地作用于解的低秩因子。大量数值测试表明，这一新型预处理器在限制迭代次数和最大Krylov秩方面具有高度效率。我们展示了该预处理器对于一般扩散方程表现良好，包括高度具有挑战性的问题，例如高对比度和各向异性方程。进一步地，它与最先进的指数和预处理器相媲美。我们还提出了一种基于在两种预处理器之间交替的混合BUG-指数和预处理器。
关键词
引用
@article{arxiv.2410.07465,
title = {Preconditioning Low Rank Generalized Minimal Residual Method (GMRES) for Implicit Discretizations of Matrix Differential Equations},
author = {Shixu Meng and Daniel Appelo and Yingda Cheng},
journal= {arXiv preprint arXiv:2410.07465},
year = {2024}
}