求解线性 Toeplitz 系统的 Krylov 子空间方法

在本论文中，我们研究方形、非对称实 Toeplitz 系统的预处理。我们证明了理论结果，这些结果构成了所提预条件子有效性以及通过预处理广义极小残差法（PGMRES）以及应用于法方程组的预处理共轭梯度法（PCGN）快速收敛到系统解的充分条件。作为引言，在第一章中，我们给出用于证明论文理论结果的基本定义与定理/引理。这些涉及特征值与奇异值的聚集，这是预条件子有效性的一个判据。在第二章中，我们针对良态以及病态系统构造了带状 Toeplitz 预条件子。该预处理技术基于通过三角多项式消去生成函数的根（若存在）并作进一步逼近。我们证明了预处理系统特征值与奇异值的聚集性。在下一章中，我们针对良态 Toeplitz 系统构造了循环预条件子，并针对病态系统构造了带状乘循环预条件子。我们证明了类似的理论结果，并在最后一节的数值结果中与先前提出的预条件子作了比较。在论文的第四章即最后一章中，我们研究具有未知生成函数的 Toeplitz 系统。我们调整了之前各章构造的预条件子。在估计生成函数及其根与重数后，我们构造相应的预条件子。