求解含时间相关偏微分方程约束的最优控制问题（时间方向 Crank-Nicolson 离散）的快速迭代求解器

在本文中，我们推导了一种新的、快速且鲁棒的预条件迭代求解策略，用于一次性求解以时间相关偏微分方程（包括热方程和非定常对流–扩散方程）为约束的最优控制问题。在采用先优化后离散的方法后，面临由耦合 PDE 系统构成的连续一阶最优性条件。与大多数对所得离散系统进行预条件处理的工作（其中对时间导数采用（一阶精度）向后 Euler 方法进行离散）不同，我们在时间方向采用（二阶精度）Crank–Nicolson 方法。我们应用一种精心定制的可逆变换对矩阵进行对称化，并由此导出所得鞍点系统的最优预条件子。该预条件子的关键组成部分包括精确的质量矩阵近似、Schur 补的良好近似，以及用于应用该后一近似的适当多重网格过程——这些均利用我们在矩阵系统变换方面的工作来构造。我们通过特征值界证明了 Schur 补近似的最优性，并将我们的求解器与广泛使用的、由向后 Euler 离散所得线性系统的预条件子进行了对比测试。这些测试证明了我们的求解器在网格尺寸、正则化参数和扩散系数方面的有效性与鲁棒性。