抛物型最优控制问题 Crank-Nicolson 离散的并行时间预条件子
数值分析
2023-12-21 v5 数值分析
摘要
本文研究了一类由初值抛物型 PDE 约束最优控制问题的二阶 Crank-Nicolson 离散所导出的鞍点系统的快速求解器，该系统不定且病态。不同于由一阶 Euler 离散导出的鞍点系统，由 Crank-Nicolson 离散导出的鞍点系统具有稠密且非对称的 Schur 补，这给快速求解器设计带来挑战。为此，对该鞍点系统应用一种新颖的对称化技术，使新 Schur 补为对称正定，且著名的匹配 Schur 补（MSC）预条件子可适用于新 Schur 补。然而，新 Schur 补仍是稠密矩阵，相应 MSC 预条件子的求逆无法并行于时间（PinT），因而耗时。鉴于此，我们针对新 Schur 补系统给出了一种改进的 MSC 预条件子。我们的新预条件子可通过时间对角化技术以快速且 PinT 的方式实现。理论上，证明了由新预条件子预处理的矩阵其特征值被与矩阵规模和正则化参数无关的正常数上下界所界。基于此谱性质，证明了用于 Schur 补系统的预处理共轭梯度（PCG）求解器具有与矩阵规模和正则化参数无关的收敛速率。据我所知，这是首次针对该最优控制问题 Crank-Nicolson 离散鞍点系统拥有与问题无关收敛速率的迭代求解器。数值结果报道了所提预条件子的性能。
引用
@article{arxiv.2109.12524,
title = {A parallel-in-time preconditioner for Crank-Nicolson discretization of a parabolic optimal control problem},
author = {Xue-Lei Lin and Shu-Lin Wu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2109.12524},
year = {2023}
}