面向 PDE 约束优化的可扩展内部点 Gauss-Newton 方法
最优化与控制
2024-10-22 v1 数值分析
数值分析
摘要
我们提出了一种可扩展的方法，用于求解具有边界约束的椭圆偏微分方程 (PDE) 约束优化问题。该方法利用稳健的全空间内部点 (IP) - Gauss-Newton 优化方法。为了应对每一步优化中需要求解的病态 IP-Gauss-Newton saddle-point 线性系统，我们提出了两种谱相关的预条件器。这些预条件器利用正则化 PDE 约束优化问题中数据有限信息性。提出了一种用于 GMRES 求解 IP-Gauss-Newton 线性系统的块 Gauss-Seidel 预条件器。对于大类 PDE 和约束边界优化问题，证明了块 Gauss-Seidel 预条件化 IP-Gauss-Newton 矩阵的谱在网格划分无关且不受内部点方法所著名的病态影响。我们提出了一种用于求解相关 IP-Gauss-Newton-Schur 补线性系统的预条件共轭梯度 (PCG) 求解器的正则化和对数屏障 Hessian 预条件器。该方法的可扩展性在一个具有边界和非线性椭圆 PDE 约束的示例问题上得到演示。优化问题的数值求解表明，需要 IP-Gauss-Newton 线性求解的求解次数与网格划分无关。此外，线性系统在网格划分和 IP 病态无关的预条件 Krylov 子空间迭代次数中得到求解。预条件器和线性系统矩阵的并行可扩展性通过基于代数多网格求解器实现，上述算法可扩展性使得能够以可扩展的方式计算大类 PDE 和约束边界问题的解。
引用
@article{arxiv.2410.14918,
title = {A Scalable Interior-Point Gauss-Newton Method for PDE-Constrained Optimization with Bound Constraints},
author = {Tucker Hartland and Cosmin G. Petra and Noemi Petra and Jingyi Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2410.14918},
year = {2024}
}