面向准刚性线性多孔弹性和弹性的参数自由预条件化的内在正则化方法
数值分析
2025-07-31 v1 数值分析
摘要
研究了用于线性多孔弹性问题的内在正则化策略和块 Schur 补预条件化方法，该问题以最低阶弱 Galerkin 有限元方法在空间上离散化，并在时间上使用隐式 Euler scheme。在每个时间步中，结果得到的鞍点系统在锁定 regime 下变得近似奇异，其中固体几乎不可压缩。这种近奇异性源于对应的线性弹性系统的主块。为实现有效的迭代求解，该近似奇异系统首先被重新表述为鞍点问题，然后通过向 (2,2) 块添加一个项来进行正则化。该正则化保持解的同时，确保新系统的非奇异性。因此，块 Schur 补预条件化变得有效。证明了经过预条件化的 MINRES 和 GMRES 方法在网格大小和锁定参数之外几乎独立地收敛。考虑了用于求解线性多孔弹性的两种和三场形式。对于二维场形式的有效求解建立在线性弹性的有效迭代求解基础之上。对于该情况，MINRES 和 GMRES 在使用块 Schur 补预条件化时实现参数自由收敛，其中主块的逆利用了高效的线性弹性求解器。多孔弹性问题也可以通过在线性弹性部分引入数值压力变量来重新表述为三场系统。内在正则化策略自然地扩展到该形式，预条件化的 MINRES 和 GMRES 也显示出该正则化系统的无参数收敛。数值实验在二维和三维中均确认了正则化策略的有效性以及块预条件器的鲁棒性。
引用
@article{arxiv.2507.22334,
title = {An inherent regularization approach to parameter-free preconditioning for nearly incompressible linear poroelasticity and elasticity},
author = {Weizhang Huang and Zhuoran Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2507.22334},
year = {2025}
}