基于 Crank-Nicolson 离散化的演化偏微分方程一次性求解系统的并行预处理器

Crank-Nicolson (CN) 方法是许多实际应用中演化偏微分方程 (PDE) 的著名时间积分器。由于任意时刻的解依赖于先前时间步的解，CN 方法本质上难以并行化。本文考虑一种使用 CN 格式求解演化 PDE 的并行方法。通过采用一次性全解方法，我们可以在标准迭代方法中使用可时间并行的预处理器同时求解所有时间步。由于所提预处理器可对角化，我们可以证明预处理后矩阵的大多数特征值等于 1，其余特征值位于集合：$\left\{z\in\mathbb{C}: 1/(1 + \alpha) < |z| < 1/(1 - \alpha)~{\rm and}~\Re{\rm e}(z) > 0\right\}$ 中，其中 $0 < \alpha < 1$ 是一个自由参数。此外，我们描述了所提预处理器的有效实现。在给定条件下，我们证明了预处理的 GMRES 方法表现出与网格无关的收敛速度。最后，我们将通过对金融期权定价 PDE 的数值实验来验证理论发现和所提预处理器的有效性。