通过多步预处理实现本质谱等价及其在病态 Toeplitz 矩阵中的应用

本文研究了生成函数 $f$ 非负且在零点具有任意实正阶 $\theta$ 的唯一零点的 Toeplitz 线性系统系数矩阵 $T_n(f)$ 的快速求解问题。我们选取属于所谓 $\tau$ 代数的矩阵 ${\tau}_n(f)$ 作为预条件子，该代数由与离散 Laplacian 相关联的正弦变换对角化。在先前的工作中，已在零点阶数等于 $2$ 的假设下证明了矩阵序列 $\{{\tau}_n(f)\}_n$ 和 $\{T_n(f) \}_n$ 的谱等价性：换言之，预条件矩阵序列 $\{{\tau}^{-1}_n(f)T_n(f) \}_n$ 的特征值一致地远离零和无穷大。在此，我们证明了当 $\theta<2$ 时上述结果的推广。此外，通过利用多步预处理，我们表明对于任意 $\theta>2$，矩阵序列 $\{{\tau}_n(f)\}_n$ 和 $\{T_n(f) \}_n$ 是本质谱等价的，即对于任意 $\theta>2$，存在 $m_\theta$ 和一个正区间 $[\alpha_\theta,\beta_\theta]$，使得 $\{{\tau}^{-1}_n(f)T_n(f) \}_n$ 的所有特征值（除了最多 $m_\theta$ 个大于 $\beta_\theta$ 的离群值外）都属于该区间。这一优良性质此前仅在 $\theta$ 为大于 2 的正偶数时已知，它与预条件序列在 1 处具有特征值簇这一事实相结合，使得相关的预条件共轭梯度法具有最优收敛率。最后，我们讨论了可能的推广并展示了精选的数值实验。