B样条配置法求解Riesz分数阶方程中的矩阵及其谱性质

本文关注由多项式B样条配置法离散化的Riesz型分数阶微分方程。对于任意多项式次数$p$，我们证明所得系数矩阵具有类Toeplitz结构。我们通过其符号研究其谱性质，并证明如同二阶微分问题一样，在$p$较大时这些给定矩阵在低、高频处均病态。更确切地说，在分数阶情形下，符号在$0$处具有阶为$\alpha$的唯一零点，其中$\alpha$为取值范围在$1$到$2$之间的分数阶导数阶数，并且当$p$增大时符号在$\pi$处呈指数衰减至零，且随着$\alpha$趋近于$1$衰减加快。与二阶问题相比，这导致低频处条件数缓解而高频处条件数恶化。此外，符号的推导揭示了我们的问题与经典扩散问题的另一相似之处。由于系数矩阵的 entries 定义为B样条基在配置点处的分数阶导数求值，我们能够将系数矩阵的中心 entries 表示为两个基数B样条分数阶导数的内积。最后，我们对多项式B样条配置的逼近行为进行了数值研究。该研究表明，与非分数阶扩散问题一致，分数阶情形下光滑解的逼近阶对偶数$p$为$p+2-\alpha$，对奇数$p$为$p+1-\alpha$。