关于 Riesz 分数阶扩散方程全时求解的并行预处理注记
摘要
用于求解 ODE 系统的 步向后差分公式（BDF）可导出一种全时线性系统，其通过并行时序预处理 Krylov 子空间求解器求解（见 McDonald、Pestana 与 Wathen [SIAM J. Sci. Comput., 40(2) (2018): A1012-A1033] 及 Lin 与 Ng [arXiv:2002.01108, 17 页]）。然而，这些研究在将该公式用于求解时间依赖 PDE 时，忽略了 步 BDF（）并非自启动的这一事实。本注记聚焦于 2 步 BDF，其在求解 Riesz 分数阶扩散方程时常优于梯形法则，但其导出的全时离散系统为带低秩扰动的块三角 Toeplitz 系统。同时，我们首先给出全时系统条件数的估计，进而借鉴先前工作构造两种块循环（BC）预处理子。我们详细讨论了这两种 BC 预处理子的可逆性以及预处理矩阵的特征值分布。还给出了这些 BC 预处理子的高效实现，尤其用于处理稠密结构 Jacobi 矩阵的计算。最后，报告了涉及一维与二维 Riesz 分数阶扩散方程的数值实验以支持我们的理论发现。
引用
@article{arxiv.2003.07020,
title = {A note on parallel preconditioning for the all-at-once solution of Riesz fractional diffusion equations},
author = {Xian-Ming Gu and Yong-Liang Zhao and Xi-Le Zhao and Bruno Carpentieri and Yu-Yun Huang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2003.07020},
year = {2021}
}
备注
18 pages. 2 figures. 6 Table. Tech. Rep.: Institute of Mathematics, Southwestern University of Finance and Economics. Revised-1: refine/shorten the contexts and correct some typos; Revised-2: correct some references. Accepted by {\em Numer. Math. Theor. Meth. Appl.}, 14 Mar. 2021