扩散方程自适应 BDF2 格式的分析

利用 BDF2 卷积核的正半定性以及一类正交卷积核，通过一个新理论框架重新审视了变步长两步向后微分公式（BDF2）。我们证明，若相邻时间步比 $r_k:=\tau_k/\tau_{k-1}\le(3+\sqrt{17})/2\approx3.561$，则用于线性反应扩散方程的自适应 BDF2 时间步进格式是无条件稳定的，并在 $L^2$ 范数下（可能为一阶）收敛。若几乎所有时间步比 $r_k\le 1+\sqrt{2}$ 或采用某些高阶起步格式，则可恢复二阶时间收敛。特别地，对于线性耗散扩散问题，稳定的 BDF2 方法在离散层上同时保持能量耗散律（在 $H^1$ 半范数下）与 $L^2$ 范数单调性。文中给出一个例子以支持我们的分析。