梯度流的自适应时间步长与最大原理保持拉格朗日格式

本文发展了一种用于梯度流的自适应时间步长方法，针对保守动力学与非保守动力学进行不同处理。对于拉格朗日坐标下的非保守梯度流，我们提出一种通过辅助项增强的修改公式，以保证行列式的正性，并证明其对应的自适应二阶backward差分公式（BDF2）在时间步长比约束 $0<r_n\le r_{\max}\le\frac{3}{2}$ 下保持能量稳定性和最大原理。另一方面，对于拉格朗日坐标下的保守Wasserstein梯度流，我们提出一种自适应BDF2格式，证明其在时间步长比约束下具有能量耗散性和正性保持特性：1D 情形下 $0<r_n\le r_{\max}\le\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2D 情形下 $0<r_n\le r_{\max}\le \frac{5}{4}$。我们还在1维和2维中进行大量数值仿真，以验证所提出格式的效率和准确性。