随机带状 Toeplitz 矩阵的条件数通常很大

众所周知，具有独立同分布 (iid) 随机条目的方阵通常条件数良好。一个自然问题是，这种有利行为是否会延续到满足额外结构约束的随机矩阵，即它们在矩阵中的位置。 Toeplitz 矩阵的一个突出子类是循环矩阵，其额外特征（其条目沿行循环）允许我们将其条件数表达为其关联多项式零点的局部化。在循环矩阵中，当其条目为 iid 时，矩阵在其关联随机多项式无零点位于单位圆上时才是条件数良好。这一联系尤其相关，因为随着随机多项式次数的增加，其零点趋向于集中在单位圆附近，使得量化最近零点距离单位圆的难度成为一个问题。另一个值得注意的家庭位于 Toeplitz 类中的循环矩阵，即带状 Toeplitz 矩阵，即只有在主对角线附近的有限多个对角线可能为非零。这类矩阵在算子理论中已广泛研究，尽管其看似简单，却提出了关于其条件数行为的微妙问题。本文我们展示，带宽不对称在起决定性作用：如果带包含下方的 r 条对角线和上方的 s 条对角线，则当 r=s 时，带状 Toeplitz 矩阵以高概率是条件数良好的；而当 r≠s 时，则通常是条件数较大的。这一发现突显了结构约束对随机矩阵数值行为的影响。