由矩阵阶依赖符号的线性组合生成的 Toeplitz 矩阵列的特征值叠加展开及其在快速特征值计算中的应用
数值分析
2021-12-23 v1 数值分析
摘要
已知具有实值符号 f 且满足若干条件并在区间 [-π,π] 上描出简单回路的 Toeplitz 矩阵 T_n(f) 的特征值容许如下形式的渐近展开：λ_j(T_n(f))=f(d_{j,n})+c_1(d_{j,n})h+c_2(d_{j,n})h^2+O(h^3)，其中 h=1/(n+1)，d_{j,n}=π j h，c_k 为仅依赖于 f 的有界系数。文献中的数值结果表明该展开成立的有效条件更弱，可归结为 f 的偶性、固定的光滑性及其在 [0,π] 上的单调性。\ 在本注记中，我们研究当考虑符号的线性组合时在该展开上引起的叠加，即 λ_j(T_n(f_0)+β_n^{(1)} T_n(f_1)+β_n^{(2)} T_n(f_2)+⋯)，其中若 t>s 则 β_n^{(t)}=o(β_n^{(s)})，且符号 f_j 或为简单回路或满足前述较弱条件。我们证明在温和假设下该渐近展开在此情形仍成立，并通过数值实验表明尚有更多值得探究之处，从而为该类大矩阵特征值的线性时间算法打开大门。该问题在线性组合系数为 h 的函数时尤为具体有趣，涉及由标准微分算子和分布阶分数阶微分方程的数值逼近经有限差分、有限元、等几何分析等局部方法所得矩阵的光谱特征。
引用
@article{arxiv.2112.11794,
title = {Eigenvalue superposition expansion for Toeplitz matrix-sequences, generated by linear combinations of matrix-order dependent symbols, and applications to fast eigenvalue computations},
author = {M. Bogoya and S. Serra-Capizzano},
journal= {arXiv preprint arXiv:2112.11794},
year = {2021}
}