关于Toeplitz矩阵特征值的近周期性

设$A$是一个无穷Toeplitz矩阵，其符号$f$是定义在$[-\pi, \pi]$上的实函数。众所周知，$A$的有限截断矩阵$A_N$的谱序列收敛到$f$值域的凸包。最近，Levitin和Shargorodsky基于一些数值实验推测，对于在$\pi$的有理倍数处有两个间断点的符号$f$，位于$f$间隙中的$A_N$的特征值在$N$上渐近地表现出周期性，并提出了一个周期作为间断点位置的函数的公式。在本文中，我们针对$f$是取值为$-1$和$1$的分段常数函数的一个特例，量化并证明了关于矩阵$A^2$的这一猜想的类似结论。