关于周期平面区域上的 Bergman-Toeplitz 算子

我们在无界周期平面区域 $\Pi$ 上的 Bergman 空间 $A^2(\Pi)$ 中，研究具有周期符号的 Toeplitz 算子 $T_a$ 的谱，其中 $\Pi$ 定义为经过平移的有界周期单元 $\varpi$ 的无限份副本的并集。我们引入了 Floquet 变换技巧，并证明了带隙谱公式的一个版本；该公式在周期椭圆谱问题框架中广为人知，它用单元 $\varpi$ 上一族 Toeplitz 型算子 $T_{a,\eta}$ 的谱来描述 $T_a$ 的本质谱，其中 $\eta$ 是所谓的 Floquet 变量。作为应用，我们考虑包含细薄几何结构的周期区域 $\Pi_h$，并展示如何构造一个 Toeplitz 算子 $T_{\sf a}: A^2(\Pi_h) \to A^2(\Pi_h)$，使得 $T_{\sf a}$ 的本质谱包含与任意给定有限实数集近似重合的互不相交的分量。此外，我们的方法提供了一种系统且直观的途径，展示如何利用单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的 Toeplitz 算子（例如具有径向符号的算子）来构造此类例子。利用 Riemann 映射，可以找到一个具有有界符号且与 $T_{\sf a}$ 具有相同谱性质的 Toeplitz 算子 $T_a : A^2(\mathbb{D}) \to A^2(\mathbb{D})$。