有界对称域上的极限算子、紧性与本质谱

本文是近期一篇关于作用于单位球上 Bergman 空间的 Toeplitz 算子本质谱的文章的后续工作。如该文所述，其中部分论证可推广到有界对称域的情形，而部分则不能。本文旨在弥补这些缺口，从而对一般的有界对称域得到可比较的结果。特别地，我们证明了 Bergman 空间 $A^p_{\nu}$ 上的 Toeplitz 算子是 Fredholm 的当且仅当其所有极限算子均可逆。更一般地，我们证明这对于包含所有 Toeplitz 代数的一类代数——带支配算子（band-dominated operators）也成立。此外，我们刻画了紧性并解释了 Berezin 变换的作用。特别地，我们证明一个有界线性算子是紧的当且仅当它是带支配的且其 Berezin 变换在边界处消失。对于 $p = 2$，“带支配”可被“含于 Toeplitz 代数中”所替代。