非对角角点受扰的三对角 Hermitian Toeplitz 矩阵的特征值

本文研究第一列为 $2,-1,0,\ldots,0,-\alpha$ 的 Hermitian Toeplitz 矩阵的特征值。注意到其生成符号依赖于矩阵的阶数 $n$。若 $|\alpha|\le 1$，则特征值属于 $[0,4]$，并在渐近上分布于 $[0,\pi]$ 上的函数 $g(x)=4\sin^2(x/2)$。当 $|\alpha|>1$ 且 $n$ 趋于无穷时，情况急剧变化：两个极端特征值（最小与最大者）落于 $[0,4]$ 之外，并迅速收敛到由 $\alpha$ 值决定的某些极限，而其余所有特征值均属于 $[0,4]$ 且渐近分布于 $g$。在各种情形下，我们将特征方程转化为便于数值方法求解的形式，并推导出特征值的渐近公式。