关于循环矩阵与 Toeplitz 矩阵的渐近等价性

任何一致有界的 $N\times N$ Hermitian Toeplitz 矩阵序列 $\{\boldsymbol{H}_N\}$ 在 $\left\| \boldsymbol{H}_N - \boldsymbol{C}_N \right\|_F = o(\sqrt{N})$ ($N\rightarrow \infty$) 的意义下，渐近等价于由该 Toeplitz 矩阵导出的特定 $N\times N$ 循环矩阵序列 $\{\boldsymbol{C}_N\}$。这意味着每个 Toeplitz 矩阵特征值的某些集体行为反映在相应的循环矩阵中，并支持在编码和滤波等应用中利用计算高效的快速傅里叶变换（而非 Karhunen-Lo\`{e}ve 变换）。在本文中，我们研究了单个特征值估计的渐近性能。我们表明，循环矩阵与 Toeplitz 矩阵的渐近等价性意味着对于某些类型的 Toeplitz 矩阵，其特征值具有单个渐近收敛性。我们还表明，对于更广泛的 Toeplitz 矩阵类，这些估计渐近地逼近最大和最小特征值。