辛动力学的不变子流形何时是 Lagrangian 的？

设 $L$ 为 $2D$ 维恰当辛流形 $(M, \omega)$ 上的 $D$ 维子流形，并设 $f$ 为 $M$ 上的辛微分同胚。本文探讨 $f$ 限制在 $L$ 上的动力学与 $L$ 的几何性质（$L$ 是否为 Lagrangian、是否光滑、是否为图等）之间的联系。我们证明了不同类型的结果：对于 $D=3$，我们证明如果一个环面承载某个特征回路，那么要么 $L$ 是 Lagrangian 的，要么 $f$ 限制在 $L$ 上的受限动力学 $g$ 不可能是极小的（即所有轨道都是稠密的）且 $(g^k)$ 等度 Lipschitz；对于 3 维环面余切丛 $M$ 上的 Tonelli Hamiltonian，我们给出了一个无共轭点但不是 Lagrangian 的不变子流形 $L$ 的例子，使得对于 $M$ 的任意辛微分同胚 $f$，若 $f(L)=L$，则 $L$ 不是极小的；在受限动力学的某些假设下，我们证明了 Tonelli Hamiltonian 流的某些不变 Lipschitz $D$ 维子流形实际上是 Lagrangian 的、$C^1$ 的且为图；我们还针对具有较弱动力学假设的 $C^1$ 子流形给出了类似结果。