通过 Ricci 流光滑化证明第一 Betti 数的刚性

Colding-Gromov 间隙定理断言，一个具有单位直径和最大第一 Betti 数的几乎非负 Ricci 曲率流形同胚于平坦环面。在本文中，我们在 Ricci 曲率有下界的塌缩 Riemann 流形的背景下，证明了该定理的一个参数化版本：如果一个 Ricci 曲率一致有下界的闭流形在 Gromov-Hausdorff 意义下接近一个具有有界几何的（低维）流形，并且它们的第一 Betti 数之差等于维数差，则它微分同胚于一个以具有有界几何的流形为底空间的环面丛。我们依赖于两个新的技术工具：第一个是对沿短测地线段平行移动的极小测地线在给定初始数据下扩散的有效控制，第二个是针对某些 Ricci 曲率有下界的塌缩初始数据的 Ricci 流光滑化结果。