RCD空间上修正第一贝蒂数的上界与环面稳定性结果

我们证明了紧致$RCD^{*}(K,N)$空间的阿贝尔化修正基本群秩(称为“修正第一贝蒂数”)的上界,其精神与著名的Gromov-Gallot关于 Ricci曲率下有界的光滑紧致黎曼流形第一贝蒂数上界一致。当合成Ricci下界足够接近(负的)零且上述修正第一贝蒂数上界饱和(即等于$N$的整数部分,记为$\lfloor N \rfloor$)时,我们建立了一个环面稳定性结果,表明该空间作为度量测度空间是$\lfloor N \rfloor$-可求长的,且某个有限覆盖必mGH-接近于一个$\lfloor N \rfloor$维平坦环面;此外,若$N$为整数,我们证明该空间自身双Hölder同胚于一个平坦环面。这第二个结果将Colding的著名环面稳定性定理(后由Cheeger-Colding精炼)推广到了非光滑$RCD^{*}(-\delta, N)$空间类。