具有几乎非负数量曲率的图环面的稳定性

根据 Schoen-Yau 和 Gromov-Lawson 的工作，任何具有非负数量曲率且微分同胚于环面的黎曼流形都等距于平坦环面。Gromov 猜测当数量曲率趋于 $0$ 时，环面在弱 Sobolev 型度量下存在子收敛。对于非塌缩的 $3$ 维环面序列 $M_j$，若其可实现为定义在满足一致上直径界和形如 $R_{g_{M_j}} \geq -1/j$ 的数量曲率界的平坦环面上的某些函数的图，我们证明了其平坦和内蕴平坦子收敛到一个平坦环面。我们还证明了收敛子序列的流形体积收敛到极限空间的体积。我们通过调整 Huang-Lee、Huang-Lee-Sormani 和 Allen-Perales-Sormani 的结果来做到这一点。此外，当环面 $(M, g_M)$ 的数量曲率条件被替换为量 $-\int_T \min\{R_{g_M},0\} d{\mbox{vol}_{g_T}}$ 的界时，我们的结果依然成立，其中 $M=\mbox{graph}(f)$，$f: T \to \mathbb R$ 且 $(T,g_T)$ 是一个平坦环面。利用 Alaee、McCormick 和第一作者在本工作完成后发展的论证，我们的结果对于维度 $n \geq 4$ 同样成立。